一、初二数学竞赛试题
他跑第三次的时候是P2P3//AC,如果他能跑回来说明有一条线是PP5//AC的,同样P5P4//AB
经过证明可以知道P3P4//BC,这就说明了当他跑第四次的时候轨迹正好和我们假设能跑到P的轨迹相同了,证明如下:
P2P3//P4C,P4P5//P3B
又PP1=BP2=P5C
所以三角形P2P3B和三角形P4P5C全等
所以P3P4//BC
他的轨迹长度是PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P=BP2+P3A+CP4+P2C+BP3+AP4=2000cm
二、2009年全国初中数学联合竞赛试题
作EG⊥AB于G，FI⊥AB于I，MJ⊥AB于J，NK⊥AB于K 显然EF‖AB <=> EG=FI EG=(PH+MJ)/2 FI=(QH+NK)/2 只需证明PH+MJ=QH+NK 设a=BC,b=AC,c=AB CH=ab/c CH/MJ=BC/BM=(CM+BM)/BM=1+CM/BM=1+b/c MJ=ab/(c(1+b/c))=ab/(b+c) 同理NK=ab/(a+c) MJ-NK=ab/(b+c)-ab/(a+c) =ab(a-b)/((b+c)(a+c)) AH/AC=AC/AB AH=AC^2/AB=b^2/c 同理BH=a^2/c CP/PH=AC/AH CH/PH=(CP+PH)/PH=1+CP/PH=1+AC/AH PH=CH/(1+AC/AH) =(ab/c)/(1+b/(b^2/c)) =(1+b/c)/(1+c/b) =ab^2/(c(b+c)) 同理QH=a^2*b/(c(a+c)) QH-PH=a^2*b/(c(a+c))-ab^2/(c(b+c)) =ab/c*(a/(a+c)-b/(b+c)) =ab(a-b)/((a+c)(b+c)) 所以MJ-NK=QH-PH 所以PH+MJ=QH+NK 得证
三、初三一道数学竞赛试题
连接OB,OA，因为OB平分角ABC,BA=BN,OB=OB,所以三角形AOB全等于三角形NOB，所以角ONM=角BAO.同理角OMN=角OAC，因为角OMN+角ONM=角BAC,所以角B+角C=角MON