求初中最难的数学题！
1.国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分。今有8名选手进行单循环比赛，每两人均赛一局。比赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，发现第4名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和。问前三名选手各得多少分？说明理由。
解答：设第I名运动员得分为AI，得分为A1>A2>A3>A4>A5>A6>A7>A8
由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，所以AI所以A1+A2+.....A8=28 因为每局得分为0 1/2 1 3种 所以A1—A8只能在0，1/2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 中取直。 又知A4=4 A2=A5+A6+A7+A8 若A3>或=5.5则A2》=6 A1》=6.5 于是A1+A2+A3》=6.5+6+5.5=18 由（1） A4+A5+A6+A7+A8《=10 但A4=4.5 所以A5+A6+A7+A8〈=`10-4.5=5.5 与A2〉=6矛盾 古A3〈5.5 这样A1+A2+....A8=28-5-4.5=18.5 所以A1+2A2=18.5 若A2=5.5 则A1=18.5-11=7.5〉=A1 不可能。 若A2》=6.5 A1=18.5-2A2《=18.5-13=5.5〈A2 矛盾 所以A2=6 于是前三名选手得分一次为6.5 6 5 2.X的8次方+X的7次方+1 分解因式 解法: X的8次方+X的7次方+1 =X的8次方+X的7次方+X的6次方+X的5次方+X的4次方+X的3次方+X的2次方+X+1-X的6次方-X的5次方-X的4次方-X的3次方-X的2次方-X =X的6次方(X的2次方+X+1)+X的3次方(X的2次方+X+1)+(X的2次方+X+1)-X的4次方(X的2次方+X+1)-X(X的2次方+X+1) =(X的6次方-X的4次方+X的3次方-X+1)(X的2次方+X+1) 3.在等腰直角三角形ABC的斜边上取异于B C的两点 E F 使 角EAF =45度 求证 把EF BE CF做边围成的三角形是直角三角形 证明：由A作垂线交BC于H。 设角BAE=y，设BH=AH=CH=1。则 EH = tan(45-y) = (1-tan(y))/(1+tan(y)) HF = tan(y) EF = EH + HF = (1-tan(y))/(1+tan(y)) + tan(y) BE = 1-EH= 2tan(y)/(1+tan(y)) CF = 1-tan(y) 可以代如x = tan(y)简化式子得 EF = x + (1-x)/(1+x) BE = 2x/(1+x) CF = 1-x 然后平方，简化，最后可得 CF^2+BE^2 = EF^2 --> 这三条线段可做成直角三角形。 4. 〉1.甲容器有15%的盐水30升,乙容器有18%的盐水20升,如果两个容器中各加等量的水,使它们的浓度相等,那么加入的水是多少? 〉2.某项工程,如果甲单独做,正好在规定的时间完成;如果乙单独做,则比规定的日期要多3天才完工,现在甲乙两队合作2天后,再由乙队单独做,正好在规定的日期完工,问规定是多少天? 〉3.一水池有甲 乙两个进水管,同时打开甲 乙两管4小时后,关闭乙管,甲管又用了6个小时把水池注吗.以知甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同.求单独开放甲乙两管分别要几小时可把空水池注满? 1、 设应加入x升水。 （1）求甲乙容器的含盐量 （2）各加入x升水后浓度相等 30*15%/（30+x）=20*18%/(20+x) 2、 设规定时间为x，把总工作量看成1。则甲每天做1/x的工作， 乙每天做 1/(x+3) 甲乙合作2天完成的工作为 2*1/x + 2*1/(x+3) 甲乙合作2天后剩余的工作 1-[2*1/x + 2*1/（x+3）] 由乙单独做剩余的工作需要的天数 = 剩余日工作量/乙每天的工作量 =[1-[2*1/x + 2*1/（x+3）]]/[1/(x+3)] 规定的天数=甲乙合作的天数 + 乙单独做剩余的工作需要的天数 即 x=2+ [1-[2*1/x + 2*1/（x+3）]]/[1/(x+3)] 3、设水池总水量为1，甲需x小时注满水池，乙需y小时。则甲每小时注水1/x，乙每小时注1/y. 4/x +4/y + 6/x =1 方程1（同时打开甲 乙两管4小时后,关闭乙管,甲管又用了6个小时把水池注满） 2.5*1/x = 2*1/y 方程2 （甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同）
很难的初中数学难题！！
呵呵，你初一就做这么有挑战性的题目啊?我来跟你说说吧！
首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。