设E是凸四边形ABCD边CD上的中点,己知∠AEB=120°。
求证:DA+BC+CD/2≥AB。
证明 以AE为对称轴,作D点轴反射变换,D→D’,连 AD',ED'; 以BE为对称轴,作C点轴反射变换,C→C’,连BC’,EC’。
则有ED=ED’,DA=D'A,EC=EC’,BC=BC’。
因为∠AEB=120°,所以
∠D'EC'=120°-(∠AED’+∠BEC’)= 120°-(∠DEA'+∠CEB)
=120°-(180°-120°)=60°。
故△ED’C’ 为正三角形,
从而C’D’=ED’=EC’=ED=EC=CD/2。
于是有 BC+DA+CD/2=BC'+AD’+C'D’≥AB。
等号成立当且仅当C',D'皆在AB上,且AE为∠BAD,BE为∠ABC的角平分线。