答案是：
由题意知：方程X^2+PX+(K+1)P-4＝0的两根x1、x2中至少有一个为整数。
由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－P，x1x2＝(K+1)P-4，从而有
(x1+2)(x2+2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝(k－1)P （a）
（1）、若k＝1，则方程有两个整数根，－2和2－P
（2）、若k>1，则k－1>0
因为，x1＋x2＝－P为整数，如果x1、x2中至少有一个为整数，则x1、x2都是整数。
又因为P为质数，由（a）式可知，P能整除x1＋2或是x2＋2
不妨设 p能整除x1＋2，则可设x1＋2＝mP(m为非零整数)，
由（a）式可得x2＋2＝(k－1)/m
故（x1＋2）＋（x2＋2）＝mP＋(k－1)/m，即x1＋x2＋4＝mP＋(k－1)/m
又x1＋x2＝－P
所以，－P＋4＝mP＋(k－1)/m，即
(m+1)P＋(k－1)/m＝4 （b）
如果m为正整数，则(m+1)P>=(1+1)×3＝6，(k－1)/m>0,
从而 (m+1)P＋(k－1)/m>6，与（b）式矛盾
如果m为负整数，则(m+1)P<0，(k－1)/m<0
从而 (m+1)P＋(k－1)/m<0，与（b）式矛盾
因此，k>1时，方程^2+PX+(K+1)P-4＝0不可能有整数根。
综上所述,k=1